看图轻松理解数据结构与算法系列(AVL树)

作者:超人汪小建(seaboat)

出处:https://blog.csdn.net/wangyangzhizhou/column/info/25184/2


AVL树

AVL树,也称平衡二叉搜索树,AVL是其发明者姓名简写。AVL树属于树的一种,而且它也是一棵二叉搜索树,不同的是他通过一定机制能保证二叉搜索树的平衡,平衡的二叉搜索树的查询效率更高。

AVL树特点

  • AVL树是一棵二叉搜索树。
  • AVL树的左右子节点也是AVL树。
  • AVL树拥有二叉搜索树的所有基本特点。
  • 每个节点的左右子节点的高度之差的绝对值最多为1,即平衡因子为范围为[-1,1]。

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图中红色数字表示对应节点的高度,可以看到同一层的节点高度差都没有超过1。

二叉搜索树的平衡

基础的二叉搜索树构建出来可能会存在不平衡的现象,比如极端情况下,按照A B C D E F G H顺序插入树中,结果为,

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但实际上我们更想要平衡一点的二叉搜索树,因为平衡的二叉搜索树能有效提高查询效率,比如上面的要查询“H”节点则需要比较8个节点才找到,而平衡的二叉搜索树只需要比较3个节点。

所以AVL树的出现就是为了解决平衡性问题,它的核心内容就是平衡处理机制,即所谓的旋转,一共有四种形式的旋转:右单旋、左单旋、左右双旋和右左双旋。

为什么要旋转

不管是什么方式的旋转,旋转的目的是为了降低树的高度,使其平衡,假如树结构如下图,

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将“A”节点添加到树中,变成如下结构,树产生了不平衡,于是检查哪里不平衡,当到“C”节点时发现高度差超过1,

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所以需要对“C”节点进行右单旋操作将高度降到2,达到平衡。

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插入方式

AVL树一共有四种插入方式,根据插入方式不同需要做不同的旋转操作,现在往下看四种插入方式,设受插入节点影响而失去平衡的节点的父节点为Z,

  • LL插入方式,插入的节点在Z节点的左子树的左子树上,如下图,“A”节点插入影响“C”节点的平衡,“C”的父节点为“E”,插入节点“A”在“E”节点的左子树的左子树上。即“B”节点的左右子节点都算LL插入。

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  • RR插入方式,插入的节点在Z节点的右子树的右子树上,如下图,“I”节点插入影响“G”节点的平衡,“G”的父节点为“E”,插入节点“I”在“E”节点的右子树的右子树上。即“H”节点的左右子节点都算RR插入。

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  • LR插入方式,插入的节点在Z节点的左子树的右子树上,如下图,“C”节点插入影响“B”节点的平衡,“B”的父节点为“E”,插入节点“C”在“E”节点的左子树的右子树上。即“D”节点的左右子节点都算LR插入。

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  • RL插入方式,插入的节点在Z节点的右子树的左子树上,如下图,“G”节点插入影响“H”节点的平衡,“H”的父节点为“E”,插入节点“G”在“E”节点的右子树的左子树上。即“F”节点的左右子节点都算RL插入。

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右单旋

右单旋用于处理LL插入方式,假设存在一棵树,如下,

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现插入“A”节点,假如不进行旋转的话,树结构为下图,所以遍历过程也会检查哪里不平衡,检查到“C”节点和“G”节点的高度差大于1,而且插入节点“A”属于“E”节点左子树的左子树,于是进行右单旋,

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“C”节点右单旋即将“C”节点提高,原本它的父节点“E”则变为其右子节点,“C”节点原来的右子节点则变为其父节点“E”的左子节点。右单旋后的结果如下,重新达到了平衡。

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左单旋

左单旋用于处理RR插入方式,假设存在一棵树,如下,

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现插入“I”节点,假如不进行旋转的话,树结构为下图,所以遍历过程也会检查哪里不平衡,检查到“C”节点和“G”节点的高度差大于1,而且插入节点“I”属于“E”节点的右子树的右子树,于是进行左单旋,

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“G”节点左单旋即将“G”节点提高,原本它的父节点“E”则变为其左子节点,“G”节点原来的左子节点则变为其父节点“E”的右子节点。左单旋后的结果如下,重新达到了平衡。

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左右双旋

左右双旋用于处理LR插入方式,假设存在一棵树,如下,

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现插入“C”节点,假如不进行旋转的话,树结构为下图,遍历过程会检查哪里不平衡,检查到“B”节点和“G”节点的高度差大于1,而且插入节点“C”属于“E”节点的左子树的右子树,于是进行左右双旋,

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先以“D”节点为轴进行左单旋,结果为,

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再以“D”节点为轴进行右单旋,得到最终结果,

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右左双旋

右左双旋用于处理RL插入方式,假设存在一棵树,如下,

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现插入“G”节点,假如不进行旋转的话,树结构为下图,遍历过程会检查哪里不平衡,检查到“C”节点和“H”节点的高度差大于1,而且插入节点“G”属于“E”节点的右子树的左子树,于是进行右左双旋,

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先以“F”节点为轴进行右单旋,结果为,

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再以“F”节点为轴进行左单旋,得到最终结果,

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插入

空树时插入节点“E”直接作为根节点,“E”节点高度设为1,

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继续插入“B”节点,小于“E”节点则添加到左边,且“E”节点高度加1,

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继续插入“G”节点,大于“E”节点则添加到右边,此时“E”节点高度不变,

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继续插入“D”节点,最终到“B”节点的右子节点,此时“B”节点高度加1,“E”节点高度也加1,

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继续插入“C”节点,最终到“D”节点的左子节点,此时“D”、“B”、“E”节点高度都分别加1,并且先发现节点“D”与它同级节点(不存在即高度为0)高度差大于1,并且属于RL插入方式,使用右左双旋处理,

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以“C”节点为轴进行右单旋,结果为,

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再以“C”节点为轴进行左单旋,结果如下,可以看到进过右左双旋操作后二叉树已经达到平衡了。

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总结,插入时可能会遇到四种不同的插入方式,分别是:LL插入方式、RR插入方式、LR和RL插入方式。根据不同的插入方式对应做旋转操作即能使树达到平衡状态。

查找

AVL树因为属于二叉搜索树,所以查找时与BST树完全一样,比如下面这棵树,查找“D”节点,

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从根节点“C”开始,

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“D”大于“C”,所以往右继续查找,

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“D”小于“E”,所以往左查找,找到。

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删除

删除操作主要分两种情况,一种是删除后不会影响平衡,那么直接按照BST树规则删除。另外一种是删除后会影响树的平衡,那么则需要再做旋转处理。

情况一

如树的结构,要删除“B”节点,

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直接找到“B”节点,且因为是叶子节点,直接删掉即可。

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最终为,

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但如果删除的不是“B”节点,而是“C”节点,则不能直接删除“C”节点,

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应该先找到“C”节点的前驱,它的前驱为“B”节点,使用“B”替换“C”节点,

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最后将原来的“B”节点删除。

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情况二

如树的结构,要删除“F”节点,

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先找到“F”节点,

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然后将“F”节点删除,此时导致了“C”节点和“G”节点的高度差超过1,需要做旋转操作,

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而且因为C节点的左子节点高度比右子节点高度大,所以执行右单旋操作,旋转后为,

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